فيبوناتشي والنسبة الذهبية

متتالية فيبوناتشي :

النسبة الذهبية : هي علاقة رياضية فريدة وهي سلسلة أرقام طُوِّرت من قبل عالم رياضيات عاش في القرن الثالث عشر يدعى ليوناردو فيبوناتشي، تبدأُ هذه المتتالية اولاً بالرقمين “1” و”1″ الذين نقوم بجمعهما لينتج لدينا الرقم “2”، والذي إن جمعناه بدوره مع الرقم الذي يسبقه “1” لنتج لدينا الرقم “3”، ونستمر بجمع الرقمين الأخيرين في المتتالية لنتوصل إلى رقم جديد وهكذا، فإذاً (1 زائد 1 يساوي 2) ثم (1 زائد 2 يساوي 3) ثم (2 زائد 3 يساوي 5).. إلخ. 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55، 89..

النسبة الذهبية حوالي 1.618 ، ويمثلها الحرف اليوناني فاي ، Φ.

 تقترب نسب أرقام فيبوناتشي المتسلسلة (2/1 ، 3/2 ، 5/3 ، إلخ) من النسبة الذهبية. في الواقع ، كلما زادت أرقام فيبوناتشي ، كانت علاقتها أقرب إلى 1.618.

                    2/1 = 2
                    3/2 = 1.5
                    5/3 = 1.66666666

هل لاحظت يوماً التناسق الغريب في الطبيعة؟ فإذا لفت انتباهك زهرةٌ ربيعية جميلة وقرّرت عدّ بتلاتها؛ لوجدّت لديها من البتلات (3 أو 5 أو 8 أو 13 أو 21 أو 34 … إلخ)، قد تبدو تلك الأرقام عشوائيةً للوهلة الأولى؛ إلا أن اللافت أنها جزءٌ مما يسمى ” مُتتالية فيبوناتشي”

يطلق على النسبة الذهبية أحيانًا اسم “النسبة الإلهية” بسبب تواترها في العالم الطبيعي. عدد البتلات على الزهرة ، على سبيل المثال ، غالبًا ما يكون رقم فيبوناتشي. تلتف بذور عباد الشمس ومخاريط الصنوبر في حلزونات متعارضة من أرقام فيبوناتشي. حتى جوانب الموز غير المقشر عادةً ما تكون عبارة عن رقم فيبوناتشي – وعدد النتوءات على الموزة المقشرة سيكون عادةً رقم فيبوناتشي أكبر.

سميت متتالية فيبوناتشي نسبة إلى ليوناردو البيسي والمعروف باسم فيبوناتشي (باللاتينية: Fibonacci). عرف هذا العالم هذه المتتاليه في كتاب له اسمه ليبري أباتشي نشره عام 1202، رغم أنها كانت معروفة وموصوفة بالسابق في الرياضيات الهندية.^[2][3]

متتالية فيبوناتشي مرتبطة ارتباطا شديدا بالنسبة الذهبية. تعبر صيغة بِينيت عن حد متتالية فيبوناتشي من الدرجة n مستعملة n ذاته إضافة إلى النسبة الذهبية، ومبينة أن النسبة بين حدين متتابعين من المتتالية تؤول إلى النسبة الذهنية عندما يؤول n إلى ما لا نهاية له.

تاريخ النسبة الذهبية :

قضى بعض أعظم العقول الرياضية من جميع الأعمار ، من فيثاغورس وإقليدس في اليونان القديمة ، وعالم الرياضيات الإيطالي في العصور الوسطى ليوناردو من بيزا وعالم الفلك في عصر النهضة يوهانس كيبلر ، إلى الشخصيات العلمية الحالية مثل عالم الفيزياء في أكسفورد روجر بنروز ، ساعات لا نهاية لها على هذه النسبة البسيطة وخصائصها. … لقد فكر علماء الأحياء ، والفنانون ، والموسيقيون ، والمؤرخون ، والمهندسون المعماريون ، وعلماء النفس ، وحتى الصوفيون ، وناقشوا أسس انتشارها وجاذبيتها. في الواقع ، ربما يكون من الإنصاف القول إن النسبة الذهبية ألهمت المفكرين من جميع التخصصات مثل أي رقم آخر في تاريخ الرياضيات.-  النسبة الذهبية: قصة Phi ، الرقم الأكثر روعة في العالم

درس علماء الرياضيات اليونانيون القدماء النسبة الذهبية لأول مرة بسبب ظهورها المتكرر في الهندسة .  تقسيم الخط إلى “نسبة متطرفة ومتوسطة ” (القسم الذهبي) مهم في هندسة الخماسي والخماسي المنتظم . وفقًا لقصة واحدة ، اكتشف عالم الرياضيات هيباسوس من القرن الخامس قبل الميلاد أن النسبة الذهبية لم تكن عددًا صحيحًا ولا جزءًا ( عددًا غير نسبي ) ، مما أثار دهشة فيثاغورس . عناصر إقليدس  (حوالي 300 قبل الميلاد ) تقدم العديد من الافتراضات وإثباتاتها التي تستخدم النسبة الذهبية ، وتحتوي على أول تعريف معروف لها والذي يتابع على النحو التالي:

يقال إن الخط المستقيم قد تم قطعه بنسبة قصوى ومتوسطة عندما يكون الخط بأكمله إلى الجزء الأكبر ، كذلك يكون الأكبر إلى الأصغر. 

تمت دراسة النسبة الذهبية محيطيًا خلال الألفية القادمة. استخدمها أبو كميل (حوالي 850-930) في حساباته الهندسية للخماسيات والعشاري. أثرت كتاباته على كتابات فيبوناتشي (ليوناردو بيزا) (1170-1250) ، الذي استخدم النسبة في مسائل الهندسة ذات الصلة على الرغم من أنه لم يربطها مطلقًا بسلسلة الأرقام التي سميت باسمه . 

أطلق لوكا باسيولي على كتابه نسبة Divina ( 1509 ) بعد النسبة ، واستكشف خصائصها بما في ذلك ظهورها في بعض المواد الصلبة الأفلاطونية . أطلق ليوناردو دافنشي ، الذي رسم الكتاب المذكور أعلاه ، على نسبة المقطع aurea (“القسم الذهبي”).  حل علماء الرياضيات في القرن السادس عشر مثل رافائيل بومبيلي مسائل هندسية باستخدام النسبة. 

لاحظ عالم الرياضيات الألماني سيمون جاكوب (المتوفى 1564) أن أرقام فيبوناتشي المتتالية تتقارب مع النسبة الذهبية . أعاد يوهانس كيبلر اكتشاف هذا في عام 1608. تم ذكر أول تقريب عشري معروف للنسبة الذهبية (المعكوسة) على أنه “حوالي{\ displaystyle 0.6180340}”في 1597 بواسطة مايكل مايستلين من جامعة توبنغن في رسالة إلى كيبلر ، تلميذه السابق.  في العام نفسه ، كتب كبلر إلى مايستلين عن مثلث كبلر ، الذي يجمع النسبة الذهبية مع نظرية فيثاغورس . قال كبلر عن هؤلاء:

للهندسة كنزان عظيمان: أحدهما هو نظرية فيثاغورس ، والآخر تقسيم الخط إلى نسبة متطرفة ومتوسطة. قد نقارن الأولى بكتلة من الذهب ، والثانية قد نسميها جوهرة ثمينة. 

استخدم علماء الرياضيات في القرن الثامن عشر أبراهام دي موفر ودانييل برنولي وليونهارد أويلر صيغة قائمة على النسبة الذهبية والتي تحدد قيمة رقم فيبوناتشي بناءً على موضعه في التسلسل ؛ في عام 1843 ، اكتشف جاك فيليب ماري بينيه ذلك ، وأطلق عليه اسم “صيغة بينيه”. استخدم مارتن أوم لأول مرة المصطلح الألماني goldener Schnitt (“القسم الذهبي”) لوصف النسبة في عام 1835. استخدم جيمس سولي المصطلح الإنجليزي المكافئ في عام 1875. 

بحلول عام 1910 ، بدأ عالم الرياضيات مارك بار في استخدام الحرف اليوناني فاي ({\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varphi}}}) كرمز للنسبة الذهبية.وقد مثلها أيضا تاو ({\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}}}) ، الحرف الأول من اليونانية القديمة τομή (“قص” أو “قسم”). 

يعتمد نظام بناء الزوم ، الذي طوره ستيف باير في أواخر الستينيات ، على نظام التناظر للعشريني الوجوه / ثنائي الوجوه ، ويستخدم النسبة الذهبية في كل مكان. بين عامي 1973 و 1974 ، طور روجر بنروز تبليط بنروز ، وهو نمط متعلق بالنسبة الذهبية في كل من نسبة مناطق بلاطتيها المعينية والتردد النسبي داخل النموذج. أدى هذا إلى اكتشاف دان شيختمان في أوائل ثمانينيات القرن الماضي لأشباه البلورات ،  والتي يُظهر بعضها تناظرًا عشريً الوجوه . 

التطبيق والاستخدام :

ركز المهندس المعماري السويسري لو كوربوزييه ، المشهور بإسهاماته في الأسلوب الدولي الحديث ، فلسفته في التصميم على أنظمة التناغم والتناسب. ارتبط إيمان لو كوربوزييه بالترتيب الرياضي للكون ارتباطًا وثيقًا بالنسبة الذهبية وسلسلة فيبوناتشي ، التي وصفها بأنها “إيقاعات واضحة للعين وواضحة في علاقاتها مع بعضها البعض. وهذه الإيقاعات هي أصل جذور الأنشطة البشرية.

استخدم لو كوربوزييه بشكل صريح النسبة الذهبية في نظام Modulor الخاص به لمقياس النسبة المعمارية . لقد رأى هذا النظام باعتباره استمرارًا لتقليد طويل من فيتروفيوس ، و ” فيتروفيان مان ” ليوناردو دافنشي ، وعمل ليون باتيستا ألبيرتي ، وغيرهم ممن استخدموا نسب جسم الإنسان لتحسين مظهر ووظيفة العمارة .

بالإضافة إلى النسبة الذهبية ، بنى لو كوربوزييه النظام على القياسات البشرية وأرقام فيبوناتشي والوحدة المزدوجة. لقد أخذ اقتراح النسبة الذهبية في النسب البشرية إلى أقصى الحدود: لقد قسّم نموذجه لجسم الإنسان عند السرة مع قسمين في النسبة الذهبية ، ثم قسّم هذه المقاطع بنسبة ذهبية عند الركبتين والحلق ؛ استخدم نسب النسبة الذهبية هذه في نظام Modulor . مثال على فيلا شتاين لو كوربوزييه عام 1927 في Garches تطبيق نظام Modulor. المخطط الأرضي المستطيل للفيلا والارتفاع والبنية الداخلية قريبة جدًا من المستطيلات الذهبية. 

أسس مهندس معماري سويسري آخر ، ماريو بوتا ، العديد من تصميماته على أشكال هندسية. تتكون العديد من المنازل الخاصة التي صممها في سويسرا من مربعات ودوائر ومكعبات وأسطوانات. في المنزل الذي صممه في Origlio ، النسبة الذهبية هي النسبة بين القسم المركزي والأقسام الجانبية للمنزل. 

أدت الرسوم التوضيحية لليوناردو دافنشي عن متعدد السطوح  إلى التكهن بأنه قد أدرج النسبة الذهبية في لوحاته. لكن الإيحاء بأن لوحة الموناليزا الخاصة به ، على سبيل المثال ، تستخدم نسب النسبة الذهبية ، لا تدعمها كتابات ليوناردو نفسه. 

استخدم سلفادور دالي ، متأثرًا بأعمال ماتيلا غيكا ، صراحة النسبة الذهبية في تحفته ، سر العشاء الأخير . أبعاد اللوحة عبارة عن مستطيل ذهبي. يتدلى من اثنا عشر وجهًا ضخمًا ، في المنظور بحيث تظهر الحواف بنسب ذهبية لبعضها البعض ، فوق وخلف يسوع ويسيطر على التكوين. 

وجدت دراسة إحصائية أجريت عام 1999 على 565 عملاً فنياً لرسامين عظماء مختلفين أن هؤلاء الفنانين لم يستخدموا النسبة الذهبية في حجم لوحاتهم. وخلصت الدراسة إلى أن متوسط نسبة جانبي اللوحات المدروسة هو{\ displaystyle 1.34،}مع متوسطات للفنانين الفرديين تتراوح من{\ displaystyle 1.04}(غويا) إلى{\ displaystyle 1.46}(بيليني). من ناحية أخرى ، قام بابلو توستو بإدراج أكثر من 350 عملاً لفنانين مشهورين ، بما في ذلك أكثر من 100 عمل بها لوحات ذات مستطيل ذهبي و{\ displaystyle {\ sqrt {5}}}النسب ، وغيرها بنسب مثل{\ displaystyle {\ sqrt {2}}،} {\ displaystyle 3،} {\ displaystyle 4،}و{\ displaystyle 6.}

كما دخل استخدام النسبة الذهبية في الفن والكتب والتصاميم الهندسية والرياضيات والاعلام والموسيقى بالاضافة لوجود هذه المتتالية في الطبيعة والنبات والحيوان .

مجموعة فيبوناتشي هي متتالية فيبوناتشي ولكنها بخلاف مجموعة من الأرقام لها صلات بالاعداد للكواكب والمجرات والتصنيفات النباتية والحيوانية ويقال عند الهنود القدماء قبل ظهور تلك المتتالية ان هناك مجموعة من الاعداد ذات ترتيب معين له صلة باحداث يومية في الحاضر والمستقبل متوقع حدوثها.

المراجع :

1. OEIS: A001622
2. ^ Weisstein, Eric W. “Golden Ratio”. mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-10.
3. ^ Livio 2003, pp. 3, 81.
4. ^ ^a b Dunlap, Richard A., The Golden Ratio and Fibonacci Numbers, World Scientific Publishing, 1997
5. ^ Euclid, Elements, Book 6, Definition 3.
6. ^ ^a b Fink, Karl; Beman, Wooster Woodruff; Smith, David Eugene (1903). A Brief History of Mathematics: An Authorized Translation of Dr. Karl Fink’s Geschichte der Elementar-Mathematik (2nd ed.). Chicago: Open Court Publishing Co. p. 223.
7. ^ Summerson John, Heavenly Mansions: And Other Essays on Architecture (New York: W.W. Norton, 1963) p. 37. “And the same applies in architecture, to the rectangles representing these and other ratios (e.g. the ‘golden cut’). The sole value of these ratios is that they are intellectually fruitful and suggest the rhythms of modular design.”
8. ^ Jay Hambidge, Dynamic Symmetry: The Greek Vase, New Haven CT: Yale University Press, 1920
9. ^ William Lidwell, Kritina Holden, Jill Butler, Universal Principles of Design: A Cross-Disciplinary Reference, Gloucester MA: Rockport Publishers, 2003
10. ^ ^a b c Pacioli, Luca. De divina proportione, Luca Paganinem de Paganinus de Brescia (Antonio Capella) 1509, Venice.
11. ^ Strogatz, Steven (September 24, 2012). “Me, Myself, and Math: Proportion Control”. The New York Times.
12. ^ ^a b Weisstein, Eric W. “Golden Ratio Conjugate”. MathWorld.
13. ^ Livio 2003, p. 6.
14. ^ Livio 2003, p. 4: “… line division, which Euclid defined for … purely geometrical purposes …”
15. ^ Livio 2003, pp. 7–8.
16. ^ Livio 2003, pp. 4–5.
17. ^ Livio 2003, p. 78.
18. ^ Hemenway, Priya (2005). Divine Proportion: Phi In Art, Nature, and Science. New York: Sterling. pp. 20–21. ISBN 978-1-4027-3522-6.
19. ^ Livio 2003, p. 3.
20. ^ Euclid’s Elements of Geometry. Translated by Richard Fitzpatrick. 2007. p. 156. ISBN 978-0615179841.
21. ^ Livio 2003, pp. 88–96.
22. ^ Livio 2003, pp. 131–132.
23. ^ Baravalle, H. V. (1948). “The geometry of the pentagon and the golden section”. Mathematics Teacher. 41: 22–31. doi:10.5951/MT.41.1.0022.
24. ^ Livio 2003, p. 141.
25. ^ Schreiber, Peter (1995). “A Supplement to J. Shallit’s Paper “Origins of the Analysis of the Euclidean Algorithm””. Historia Mathematica. 22 (4): 422–424. doi:10.1006/hmat.1995.1033
26. Livio 2003, pp. 151–152.
27. ^ “The Golden Ratio”. The MacTutor History of Mathematics archive. Retrieved 2007-09-18.
28. ^ Weisstein, Eric W. “Binet’s Fibonacci Number Formula”. MathWorld.
29. ^ Herz-Fischler, Roger (1987). A Mathematical History of Division in Extreme and Mean Ratio. Wilfrid Laurier University Press. ISBN 978-0889201521.
30. ^ Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar (2011). The Glorious Golden Ratio. Prometheus Books. p. 8. ISBN 9-781-61614-424-1.
31. ^ Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar (2011). The Glorious Golden Ratio. Prometheus Books. p. 285. ISBN 9-781-61614-424-1.
32. ^ Cook, Theodore Andrea (1914). The Curves of Life. London: Constable and Company Ltd. p. 420.
33. ^ Barr, Mark (1929). “Parameters of beauty”. Architecture (NY). Vol. 60. p. 325. Reprinted: “Parameters of beauty”. Think. Vol. 10–11. International Business Machines Corporation. 1944.
34. ^ Livio 2003, p. 5.
35. ^ Weisstein, Eric W. “Golden Ratio”. MathWorld.
36. ^ Gardner, Martin (2001). The Colossal Book of Mathematics: Classic Puzzles, Paradoxes, and Problems. W.W. Norton & Company. pp. 77, 88. ISBN 978-0393020236.
37. ^ Gerlin, Andrea (October 5, 2011). “Tecnion’s Shechtman Wins Nobel in Chemistry for Quasicrystals Discovery”. Bloomberg. Archived from the original on December 5, 2014. Retrieved January 4, 2019.
38. ^ Jaric, Marko V. (2012), Introduction to the Mathematics of Quasicrystals, Elsevier, p. x, ISBN 978-0323159470, Although at the time of the discovery of quasicrystals the theory of quasiperiodic functions had been known for nearly sixty years, it was the mathematics of aperiodic Penrose tilings, mostly developed by Nicolaas de Bruijn, that provided the major influence on the new field.
39. ^ Livio 2003, pp. 203–209.
40. ^ Goldman, Alan I.; et al. (1996). “Quasicrystalline Materials”. American Scientist. 84 (3): 230–241.
41. ^ Le Corbusier, The Modulor p. 25, as cited in Padovan, Richard, Proportion: Science, Philosophy, Architecture (1999), p. 316, Taylor and Francis, ISBN 0-419-22780-6
42. ^ Frings, Marcus, The Golden Section in Architectural Theory, Nexus Network Journal vol. 4 no. 1 (Winter 2002).
43. ^ Le Corbusier, The Modulor, p. 35, as cited in Padovan, Richard, Proportion: Science, Philosophy, Architecture (1999), p. 320. Taylor & Francis. ISBN 0-419-22780-6: “Both the paintings and the architectural designs make use of the golden section”.
44. ^ Urwin, Simon. Analysing Architecture (2003) pp. 154–155, ISBN 0-415-30685-X
45. ^ Livio 2003, pp. 134–135.
46. ^ Hart, George W. (1999). “Leonardo da Vinci’s Polyhedra”. George W. Hart. Retrieved March 10, 2019.
47. ^ ^a b c d Livio, Mario (November 1, 2002). “The golden ratio and aesthetics”. Plus Magazine. Retrieved November 26, 2018.
48. ^ Keith Devlin (May 2007). “The Myth That Will Not Go Away”. Retrieved September 26, 2013. Part of the process of becoming a mathematics writer is, it appears, learning that you cannot refer to the golden ratio without following the first mention by a phrase that goes something like ‘which the ancient Greeks and others believed to have divine and mystical properties.’ Almost as compulsive is the urge to add a second factoid along the lines of ‘Leonardo Da Vinci believed that the human form displays the golden ratio.’ There is not a shred of evidence to back up either claim, and every reason to assume they are both false. Yet both claims, along with various others in a similar vein, live on.
49. ^ Donald E. Simanek. “Fibonacci Flim-Flam”. Archived from the original on January 9, 2010. Retrieved April 9, 2013.
50. ^ Salvador Dalí (2008). The Dali Dimension: Decoding the Mind of a Genius (DVD). Media 3.14-TVC-FGSD-IRL-AVRO.

1. PDF) https://web.archive.org/web/20190130113151/http://www.quipus.it/english/Andean%20Calculators.pdf، مؤرشف من الأصل (PDF) في 30 يناير 2019. {{استشهاد ويب}}: الوسيط |title= غير موجود أو فارغ (مساعدة)
2. ^ Parmanand Singh. “Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers”. Math. Ed. Siwan, 20(1):28–30, 1986. ISSN 0047-6269
3. Parmanand Singh,”The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India.” Historia Mathematica 12(3), 229–44, 1985.
4. ^ Susantha Goonatilake (1998)، Toward a Global Science، Indiana University Press، ص. 126، ISBN 9780253333889، مؤرشف من الأصل في 25 يناير 2020
5. 
    Donald Knuth (2006)، The Art of Computer Programming: Generating All Trees—History of Combinatorial Generation; Volume 4، Addison-Wesley، ص. 50، ISBN 9780321335708، مؤرشف من الأصل في 25 يناير 2020.
6. ^ Rachel W. Hall. Math for poets and drummers. Math Horizons 15 (2008) 10-11. نسخة محفوظة 12 فبراير 2012 على موقع واي باك مشين.^{[وصلة مكسورة]}
7. 
    Sigler, Laurence E. (trans.) (2002)، Fibonacci’s Liber Abaci، Springer-Verlag، ISBN 0-387-95419-8. Chapter II.12, pp. 404–405.
8. ^ Knott, Ron، “Fibonacci’s Rabbits”، جامعة سري كلية الهندسة والعلوم الفيزيائية، مؤرشف من الأصل في 07 مارس 2019.
9. “Phyllotaxis as a Dynamical Self Organizing Process” (PDF)، Journal of Theoretical Biology، 178 (178): 255–274، doi:10.1006/jtbi.1996.0026، مؤرشف من الأصل (PDF) في 7 أغسطس 2015، اطلع عليه بتاريخ أكتوبر 2020.
10. ^ Jones, Judy (2006)، “Science”، An Incomplete Education، Ballantine Books، ص. 544، ISBN 978-0-7394-7582

تابعنا على وسائل التواصل الإجتماعي :